Una Identidad Trigonométrica es una expresión que involucra a las razones trigonométricas y cuyo valor de verdad es siempre verdadera.
En general, a partir de algunas identidades básicas, podremos demostrar otras más complicadas.
Demostración:
secα = c/b
= 1/(b/c)
= 1/cosα .//
Demostración:
cscα = c/a
= 1/(a/c)
= 1/senα .//
Demostración:
cotα = b/a
= 1/(a/b)
= 1/tanα .//
Demostración:
senα/cosα = (a/c) / (b/c)
= ac/bc
= a/b
= tanα .//
Demostración:
cosα/senα = (b/c) / (a/c)
= bc/ac
= b/a
= cotα .//
6. cos2α + sen2α = 1
Demostración:
a2 + b2 = c2 / : c2
<--> (a2 / c2) + (b2 / c2) = (c2 / c2)
<--> (a/c)2 + (b/c)2 = 1
<--> sen2α + cos2α = 1 .//
7. 1 + tan2α = sec2α
Demostración:
cos2α + sen2α = 1 / : cos2α
<--> (cos2α / cos2α) + (sen2α / cos2α) = (1 / cos2α)
<--> 1 + (senα/cosα)2 = (1/cosα)2
<--> 1 + tan2α = sec2α .//
8. cot2α + 1 = csc2α
Demostración:
cos2α + sen2α = 1 / : sen2α
<--> (cos2α / sen2α) + (sen2α / sen2α) = (1/sen2α)
<--> (cosα/senα)2 + 1 = (1/senα)2
<--> cot2α + 1 = csc2α .//
Ejemplo 1: Demostrar que cos(π/2 - α) = senα y sen(π/2 - α) = cosα .
Demostración: Considerando un ΔABC rectángulo en C, se tiene β = π/2 - α . Luego:
cos(π/2 - α) = cosβ
= a/c
= senα .//
sen(π/2 - α) = senβ
= b/c
= cosα .//
Ejemplo 2: Si θ es un ángulo agudo y positivo que satisface la ecuación
2senθ = tanθ , determinar el valor de θ.
Demostración: 2senθ = tanθ
<--> 2senθ - tanθ = 0
<--> 2senθ - (senθ/cosθ) = 0
<--> senθ (2-1/cosθ) = 0
<--> senθ = 0 o bien 2-1/cosθ=0
Como θ es agudo y positivo, esto significa 0<θ<π/2. Es decir, θ no vale 0 y, por ello, senθ no valdrá 0. Por ello, nos quedamos con la otra opción:
<--> 1/cosθ = 2
<--> cosθ = 1/2
<--> θ = π/3 .//
Ejemplo 3: Demostrar que cotα = cscα / secα .
Demostración: cotα = cosα / senα
= (1/senα) / (1/cosα)
= cscα / secα .//
Ejemplo 4: Demostrar que (1-sen2α)(1+tan2α) = 1.
Demostración: (1 - sen2α)(1 + tan2α)
= cos2α sec2α
= cos2α (1/cos2α)
= 1 .//
Ejemplo 5: Demostrar que (1-2cos2α) / (senα cosα) = tanα - cotα .
Demostración: (1-2cos2α) / (senα cosα)
= ((1-cos2α) - cos2α) / (senα cosα)
= (sen2α - cos2α ) / (senα cosα)
= (sen2α )/(senα cosα) - (cos2α)/(senα cosα)
= senα/cosα - cosα/senα
= tanα - cotα .//
Ejemplo 6: Demostrar que 2(cos6α + sen6α) - 3(cos4α + sen4α) + 1 = 0 .
Demostración: 2(cos6α + sen6α) - 3(cos4α + sen4α) + 1
= 2(cos2α + sen2α )(cos4α - cos2α sen2α + sen4α ) - 3cos4α - 3sen4α + 1
= 2(1)(cos4α - cos2α sen2α + sen4α ) - 3cos4α - 3sen4α + 1
= 2cos4α - 2cos2α sen2α + 2sen4α - 3cos4α - 3sen4α + 1
= -cos4α - 2cos2α sen2α -sen4α + 1
= -(cos4α + 2cos2α sen2α + sen4α ) + 1
= -(cos2α + sen2α ) + 1
= -1 + 1
= 0 .//