IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

Una Identidad Trigonométrica es una expresión que involucra a las razones trigonométricas y cuyo valor de verdad es siempre verdadera.
En general, a partir de algunas identidades básicas, podremos demostrar otras más complicadas.

1. Identidades Básicas

Partiendo de la definición de las razones trigonométricas vistas anteriormente, es posible demostrar estas identidades básicas.

1.       secα = 1/cosα

Demostración:
secα = c/b
          = 1/(b/c)
          = 1/cosα .//

2.       cscα = 1/senα

Demostración:
cscα = c/a
          = 1/(a/c)
          = 1/senα .//

3.       cotα = 1/tanα

Demostración:
cotα = b/a
          = 1/(a/b)
          = 1/tanα .//

4.       tanα = senα/cosα

Demostración:
senα/cosα = (a/c) / (b/c)
          = ac/bc
          = a/b
          = tanα .//

5.       cotα = cosα/senα

Demostración:
cosα/senα = (b/c) / (a/c)
         = bc/ac
         = b/a
         = cotα .//

6.       cos2α + sen2α  = 1

Demostración:

                        a2 + b= c2        / : c2 
<-->            (a2 / c2) + (b2 / c2) = (c2 / c2)
<-->            (a/c)2 + (b/c)2 = 1
<-->            sen2α + cos2α = 1 .//

7.       1 + tan2α = sec2α

Demostración:

                        cos2α + sen2α = 1        / : cos2α 
<-->            (cos2α / cos2α) + (sen2α / cos2α) = (1 / cos2α)
<-->            1 + (senα/cosα)2 = (1/cosα)2
<-->            1 + tan2α = sec2α .//

8.       cot2α + 1 = csc2α

Demostración:

                        cos2α + sen2α = 1        / : sen2α 
<-->            (cos2α / sen2α) + (sen2α / sen2α) = (1/sen2α)
<-->            (cosα/senα)2 + 1 = (1/senα)2
<-->            cot2α + 1 = csc2α .//

2. Ejemplos de Aplicación

En este apartado, revisaremos algunos ejemplos resueltos para que puedas ver cómo demostrar identidades trigonométricas. Luego, será tu turno.

Ejemplo 1: Demostrar que cos(π/2 - α) = senα  y  sen(π/2 - α) = cosα .

Demostración: Considerando un ΔABC rectángulo en C, se tiene β = π/2 - α . Luego:

cos(π/2 - α) = cosβ
                        = a/c
                        = senα .//

sen(π/2 - α) = senβ
                        = b/c
                        = cosα .//

Mobirise

Ejemplo 2: Si θ es un ángulo agudo y positivo que satisface la ecuación
2senθ = tanθ , determinar el valor de θ.


Demostración: 2senθ = tanθ
<-->            2senθ - tanθ = 0
<-->            2senθ - (senθ/cosθ) = 0
<-->            senθ (2-1/cosθ) = 0
<-->            senθ = 0    o bien    2-1/cosθ=0

      Como θ es agudo y positivo, esto significa 0<θ<π/2. Es decir, θ no vale 0 y, por ello, senθ no valdrá 0. Por ello, nos quedamos con la otra opción:

<-->            1/cosθ = 2
<-->            cosθ = 1/2
<-->            θ = π/3 .//

Ejemplo 3: Demostrar que cotα = cscα / secα .

Demostración: cotα = cosα / senα
                                        = (1/senα) / (1/cosα)
                                        = cscα / secα .//

Ejemplo 4: Demostrar que (1-sen2α)(1+tan2α) = 1.

Demostración: (1 - sen2α)(1 + tan2α)
                 = cos2α sec2α 
                 = cos2α (1/cos2α) 
                 = 1 .//

Ejemplo 5: Demostrar que (1-2cos2α) / (senα cosα) = tanα - cotα .

Demostración: (1-2cos2α) / (senα cosα)
                 = ((1-cos2α) - cos2α) / (senα cosα)
                 = (sen2α - cos2α ) / (senα cosα)
                 = (sen2α )/(senα cosα) - (cos2α)/(senα cosα)
                 = senα/cosα - cosα/senα 
                 = tanα - cotα .//

Ejemplo 6: Demostrar que 2(cos6α + sen6α) - 3(cos4α + sen4α) + 1 = 0 .

Demostración: 2(cos6α + sen6α) - 3(cos4α + sen4α) + 1
                  = 2(cos2α + sen2α )(cos4α - cos2α sen2α + sen4α ) - 3cos4α - 3sen4α + 1
                  = 2(1)(cos4α - cos2α sen2α + sen4α ) - 3cos4α - 3sen4α + 1
                  = 2cos4α - 2cos2α sen2α + 2sen4α - 3cos4α - 3sen4α + 1
                  = -cos4α - 2cos2α sen2α -sen4α + 1
                  = -(cos4α + 2cos2α sen2α + sen4α ) + 1
                  = -(cos2α + sen2α ) + 1
                  = -1 + 1
                  = 0 .//

3. Ejercicios Propuestos

Ahora sí, es momento de que pongas en práctica lo que has aprendido. ¡Que tengas un buen trabajo!

  1. Demostrar que:
    1 + 2sec^2(α)tan^2(α) - sec^4(α) - tan^4(α) = 0
  2. Demostrar que:
    senα / (1-cosα) = (1+cosα) / senα
  3. Demostrar que:
    (senα-cosα+1) / (senα+cosα-1) = (1+senα)/cosα
  4. Demostrar que:
    1/(1-senα) + 1/(1+senα) = 2sec^2(α)
  5. Demostrar que
    sen^4(α)(3-2sen^2(α)) + cos^4(α)(3-2cos^2(α)) = 1