CONCEPTOS PREVIOS

Para comenzar a hablar de Trigonometría (del griego, "tri-gonos-metros", medida de los tres ángulos), es necesario precisar aquellos conceptos acerca de triángulos y medición de ángulos que utilizaremos en este Curso. Ellos son:

1. Elementos de un Triángulo

Para caracterizar correctamente a un triángulo cualquiera, necesitaremos de ciertos elementos. Algunos de ellos serán indispensables para nuestro objetivo (y los llamaremos Elementos Primarios), mientras que otros, aunque siempre están presentes, serán accesorios para caracterizar al triángulo (y los llamaremos Elementos Secundarios).

Elementos Primarios:
Vértices: A, B, C
      Por convención, los vértices deben ser denotados en sentido antihorario (en contra de las manecillas del reloj).

Lados: AB, BC, CA. 
      La medida del lado se denota con la letra del vértice opuesto en minúscula: m(AB)=c , m(BC)=a, m(CA)=b
Ángulos: ∠CAB=∠A , ∠BCA=∠C , ∠ABC=∠A
      La medida del ángulo se denota con la letra griega minúscula correspondiente al vértice central del ángulo:
m(∠A)=α , m(∠B)=β , m(∠C)=γ
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Elementos Secundarios:
Altura: trazo que pasa por un vértice y es perpendicular al lado opuesto al mismo vértice.
      Se intersectan en un único punto H, llamado ortocentro del ΔABC.

Bisectriz: trazo que dimidia (divide en dos partes iguales) al ángulo del vértice de partida, cayendo sobre el lado opuesto al vértice.
      Se intersectan en un único punto I, llamado incentro del ΔABC. Éste corresponde al centro de la circunferencia inscrita en el ΔABC, cuyo radio (inradio) mide ρ.

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Simetral: trazo que pasa por el punto medio del lado respectivo y es perpendicular al mismo lado. También llamada mediatriz.
      Las simetrales se intersectan en un único punto O, llamado circuncentro del ΔABC. Éste corresponde al centro de la circunferencia circunscrita al ΔABC, cuyo radio (circunradio) mide r.

Transversal de gravedad:  trazo que pasa por un vértice y por el punto medio del lado opuesto al mismo vértice.
      Se intersectan en un único punto G, llamado baricentro o centro de gravedad del ΔABC.

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2. Medición de Ángulos

Existen tres formas de medir ángulos: grados sexagesimales,  grados centesimales (gradianes) y radianes. A continuación, veremos en qué consisten cada una de ellas y veremos la conveniencia de usar la última de ellas en adelante.

Grados sexagesimales: esta unidad de medida se obtiene al dividir la circunferencia (usando diámetros) en 360 partes iguales. Con ello, se obtienen las equvalencias siguientes:

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1 circunf      = 360° 
1/2 circunf  = 180°
1/4 circunf  = 90°
1/6 circunf  = 60°
1/8 circunf  = 45°
1/12 circunf = 30°

      Esta forma de medir fue diseñada por los babilonios, cuyo sistema numérico era de base 60 (es decir, tenía 60 dígitos, en contraste con nuestros 10 dígitos).

      Esta es la forma de medir ángulos que más se utiliza en la enseñanza escolar. Lamentablemente, no será la que utilizaremos.

Grados centesimales: esta unidad de medida se obtiene al dividir la circunferencia (usando diámetros) en 400 partes iguales. Fue un primer intento para que los ángulos se midieran en base 10; sin embargo, no tuvo mucho éxito y hoy en día casi no se utiliza.

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Radianes: esta unidad de medida es la más utilizada en el ámbito científico y matemático, pues permite medir los ángulos como números reales.
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      Considerando la figura, se tiene un trozo de circunferencia cuya longitud de arco mide S y cuyo radio mide R. Con ello, se define la medida del ∠AOB como:

m(∠AOB) = θ = S/R

      Consideramos ahora a la circunferencia completa. La longitud de arco de la circunferencia de radio R es el perímetro (S=2πR). Con ellos, se obtiene:

θ = S/R = (2πR)/R = 2π rad

      Observamos una equivalencia entre grados sexagesimales y radianes:

360°  --> 2π rad
α°       --> θ rad

De ° a rad:   θ = (π/180) α
De rad a °:   α = (180/π) θ

Equivalencias importantes:

1 circunf      --> 360°  --> 2π rad
1/2 circunf  --> 180°  --> π rad
1/4 circunf  --> 90°    --> π/2 rad
1/6 circunf  --> 60°    --> π/3 rad
1/8 circunf  --> 45°    --> π/4 rad
1/12 circunf --> 30°   --> π/6 rad


3. Triángulo Rectángulo

En general, diremos que un triángulo es rectángulo cuando γ=π/2 rad (es decir, el vértice C tendrá un ángulo recto). Para este triángulo se cumplirán dos propiedades:

1. Los ángulos α y β son complementarios, pues:
α + β = π/2
      En particular, β = π/2 - α

2. Teorema de Pitágoras:
a2 + b2 = c2 
--> b2 = c2 - a2 
--> a2 = c2 - b2

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4. Ejemplos de Aplicación

En este apartado, revisaremos algunos ejemplos resueltos para que puedas ver cómo utilizar las razones trigonométricas. Luego, será tu turno.

Ejemplo 1: Transformar a radianes el ángulo 316°

Solución: La regla de proporcionalidad en este caso será:
360° --> 2π rad
316° --> θ rad

Luego, θ = (π/180) x 316 = (316/180)π
= (158/90)π = (79/45)π

Finalmente, 316° equivalen a (79/45)π rad .//

Ejemplo 2: Transformar a grados sexagesimales el ángulo 2π/5 rad.

Solución: La regla de proporcionalidad en este caso será:
360° --> 2π rad
α° --> 2π/5 rad
Luego, α = (180/π)x(2π/5) = (360π/5π) = 72
Finalmente, 2π/5 rad equivalen a 72° .//

Ejemplo 3: Una escalera de 50 m de largo se deja descansar contra un muro vertical. El pie de la escalera está a 14 m de la base del muro. Si el extremo superior de la escalera se desliza 8 m hacia abajo, determine cuánto se corre el pie de la escalera.

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Solución: Para la situación inicial, se tiene:

b2 = (50 m)2 - (14 m)2 
     = 2500 m2 - 196 m2
b2 = 2304 m2
-->  b = √2304 m2 = 48 m

      Para la situación final, ahora se tiene:
--> b-8 = 40 m

--> (14+x)2 = (50 m)2 - (40 m)2 
                     = 2500 m2 - 1600 m2
       (14+x)2 = 900 m2 
--> 14 + x = 30 m
--> x = (30-14) m
--> x = 16 m .//

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5. Ejercicios Propuestos

Ahora sí, es momento de que pongas en práctica lo que has aprendido. ¡Que tengas un buen trabajo!

  1. Transformar a radianes los siguientes ángulos:

    a) 10°      b) 150°      c) 300°      d) -36° 
  2. Transformar a grados sexagesimales los siguientes ángulos:

    a) 4π/5 rad      b) 7π/6 rad      c) -2π/3 rad
  3. Calcular la altura que podemos alcanzar con una escalera de 3 m apoyada sobre la pared si la parte inferior la situamos a 0,7 m de ésta.
  4. Al atardecer, un árbol proyecta una sombra de 2,5 metros de longitud. Si la distancia desde la parte más alta del árbol al extremo más alejado de la sombra es de 4 metros, ¿cuál es la altura del árbol?
  5. Dos lugares sobre el mismo meridiano están a 254 km uno de otro. Hallar su diferencia de latitud si el radio de la Tierra es 6350 km.
  6. Si en una circunferencia de radio 6 cm un ángulo del centro de 30° subtiende un arco, hallar el ángulo que subtiende el mismo arco en una circunferencia de radio 8 cm (PISTA: Mida los ángulos en radianes y los arcos en metros).