Para comenzar a hablar de Trigonometría (del griego, "tri-gonos-metros", medida de los tres ángulos), es necesario precisar aquellos conceptos acerca de triángulos y medición de ángulos que utilizaremos en este Curso. Ellos son:
Elementos Primarios:
Vértices: A, B, C
Por convención, los vértices deben ser denotados en sentido antihorario (en contra de las manecillas del reloj).
Elementos Secundarios:
Altura: trazo que pasa por un vértice y es perpendicular al lado opuesto al mismo vértice.
Se intersectan en un único punto H, llamado ortocentro del ΔABC.
Bisectriz: trazo que dimidia (divide en dos partes iguales) al ángulo del vértice de partida, cayendo sobre el lado opuesto al vértice.
Se intersectan en un único punto I, llamado incentro del ΔABC. Éste corresponde al centro de la circunferencia inscrita en el ΔABC, cuyo radio (inradio) mide ρ.
Simetral: trazo que pasa por el punto medio del lado respectivo y es perpendicular al mismo lado. También llamada mediatriz.
Las simetrales se intersectan en un único punto O, llamado circuncentro del ΔABC. Éste corresponde al centro de la circunferencia circunscrita al ΔABC, cuyo radio (circunradio) mide r.
Transversal de gravedad: trazo que pasa por un vértice y por el punto medio del lado opuesto al mismo vértice.
Se intersectan en un único punto G, llamado baricentro o centro de gravedad del ΔABC.
Grados sexagesimales: esta unidad de medida se obtiene al dividir la circunferencia (usando diámetros) en 360 partes iguales. Con ello, se obtienen las equvalencias siguientes:
Esta forma de medir fue diseñada por los babilonios, cuyo sistema numérico era de base 60 (es decir, tenía 60 dígitos, en contraste con nuestros 10 dígitos).
Esta es la forma de medir ángulos que más se utiliza en la enseñanza escolar. Lamentablemente, no será la que utilizaremos.
Grados centesimales: esta unidad de medida se obtiene al dividir la circunferencia (usando diámetros) en 400 partes iguales. Fue un primer intento para que los ángulos se midieran en base 10; sin embargo, no tuvo mucho éxito y hoy en día casi no se utiliza.
Considerando la figura, se tiene un trozo de circunferencia cuya longitud de arco mide S y cuyo radio mide R. Con ello, se define la medida del ∠AOB como:
m(∠AOB) = θ = S/R
Consideramos ahora a la circunferencia completa. La longitud de arco de la circunferencia de radio R es el perímetro (S=2πR). Con ellos, se obtiene:
θ = S/R = (2πR)/R = 2π rad
Observamos una equivalencia entre grados sexagesimales y radianes:
360° --> 2π rad
α° --> θ rad
De ° a rad: θ = (π/180) α
De rad a °: α = (180/π) θ
Equivalencias importantes:
1 circunf --> 360° --> 2π rad
1/2 circunf --> 180° --> π rad
1/4 circunf --> 90° --> π/2 rad
1/6 circunf --> 60° --> π/3 rad
1/8 circunf --> 45° --> π/4 rad
1/12 circunf --> 30° --> π/6 rad
1. Los ángulos α y β son complementarios, pues:
α + β = π/2
En particular, β = π/2 - α
2. Teorema de Pitágoras:
a2 + b2 = c2
--> b2 = c2 - a2
--> a2 = c2 - b2
Ejemplo 1: Transformar a radianes el ángulo 316°
Solución: La regla de proporcionalidad en este caso será:
360° --> 2π rad
316° --> θ rad
Luego, θ = (π/180) x 316 = (316/180)π
= (158/90)π = (79/45)π
Finalmente, 316° equivalen a (79/45)π rad .//
Ejemplo 2: Transformar a grados sexagesimales el ángulo 2π/5 rad.
Solución: La regla de proporcionalidad en este caso será:
360° --> 2π rad
α° --> 2π/5 rad
Luego, α = (180/π)x(2π/5) = (360π/5π) = 72
Finalmente, 2π/5 rad equivalen a 72° .//
Ejemplo 3: Una escalera de 50 m de largo se deja descansar contra un muro vertical. El pie de la escalera está a 14 m de la base del muro. Si el extremo superior de la escalera se desliza 8 m hacia abajo, determine cuánto se corre el pie de la escalera.
Solución: Para la situación inicial, se tiene:
b2 = (50 m)2 - (14 m)2
= 2500 m2 - 196 m2
b2 = 2304 m2
--> b = √2304 m2 = 48 m
Para la situación final, ahora se tiene:
--> b-8 = 40 m
--> (14+x)2 = (50 m)2 - (40 m)2
= 2500 m2 - 1600 m2
(14+x)2 = 900 m2
--> 14 + x = 30 m
--> x = (30-14) m
--> x = 16 m .//