SUMAS Y MÚLTIPLOS DE ÁNGULOS

En esta sección serán definidas las Razones Trigonométricas para Sumas y Múltiplos de Ángulos, lo que nos permitirá extender a las Razones Trigonométricas a cualquier valor real de ángulo. Luego, se mostrarán Ejemplos de Aplicación a situaciones problemáticas.
Notar que todas estas expresiones serán importantes más tarde, por lo que las demostraciones aquí mostradas debieran ser estudiadas a conciencia.

1. Razones para Sumas y Múltiplos de Ángulos

Lo que se busca en esta ocasión es determinar el valor de expresiones del tipo cos(α±β) o bien tan(2β) mediante demostraciones geométricas o algebraicas.

1.       cos(α-β) = cosα cosβ + senα senβ

Demostración:
En la figura se tiene que m(∠DAC) = α  y  m(∠EAC) = β.
           Con ello, se obtiene  m(∠DAE) = α-β . Además:

- CE es perpendicular con AC.
- CB es perpendicular con AD.
- CF es perpendicular con DF.

De allí se obtiene m(BD)=m(CF) y además m(∠CEF) = α .
Con ello:

Mobirise

cos(α-β) = m(AD)/m(AE)
                 = m(AB + BD) / m(AE)
                 = m(AB)/m(AE)  +  m(BD)/m(AE)
                 = (m(AB)/m(AC)) x (m(AC)/m(AE)) + (m(CF)/m(CE)) x (m(CE)/m(AE))
                 = cosα cosβ + senα senβ .//

2. sen(α-β) = senα cosβ - cosα senβ

Demostración: A partir de la misma figura anterior, y considerando m(BC)=m(DF), se tiene:
cos(α-β) = m(DE)/m(AE)
                 = m(DF - EF) / m(AE)
                 = m(DF)/m(AE) - m(EF)/m(AE)
                 = (m(BC)/m(AC)) x (m(AC)/m(AE)) - (m(EF)/m(CE)) x (m(CE)/m(AE))
                 = senα cosβ - cosα senβ .//

3. sen(α+β) = senα cosβ + cosα senβ

Demostración:
sen(α+β) = cos(π/2 - (α+β))
                  = cos((π/2 - α) - β)
                  = cos(π/2 - α) cosβ + sen(π/2 - α) senβ
                  = senα cosβ + cosα senβ .//

4. cos(α+β) = cosα cosβ - senα senβ

Demostración:
cos(α+β) = sen(π/2 - (α+β))
                  = sen((π/2 - α) - β)
                  = sen(π/2 - α) cosβ - cos(π/2 - α) senβ
                  = cosα cosβ - senα senβ .//

5.       tan(α-β) = (tanα - tanβ) / (1 + tanα tanβ)
Demostración: EJERCICIO.


6.       tan(α+β) = (tanα + tanβ) / (1 - tanα tanβ)
Demostración: EJERCICIO.

7. cos(2β) = cos2β - sen2β

Demostración:
cos(2β) = cos(β+β)
               = cosβ cosβ - senβ senβ
               = cos2β - sen2β .//

8. sen(2β) = 2senβ cosβ

Demostración:
sen(2β) = sen(β+β)
               = senβ cosβ + cosβ senβ
               = 2senβ cosβ .//

9.       tan(2β) = (2tanβ) / (1 - tan2β)
Demostración: EJERCICIO.


10.    cos(3α) = 4cos3α - 3cosα
Demostración: EJERCICIO.


11.    sen(3α) = 3senα - 4sen3α
Demostración: EJERCICIO.

12.    cos2(α/2) = (1+cosα) / 2

Demostración:

(1+cosα) / 2 = (1 + cos(α/2 + α/2)) / 2
                       = (1 + cos2(α/2) - sen2(α/2)) / 2
                       = (cos2(α/2) + 1 - sen2(α/2)) / 2
                       = (cos2(α/2) + cos2(α/2)) / 2
                       = 2cos2(α/2) / 2
                       = cos2(α/2) .//

13.    sen2(α/2) = (1-cosα) / 2

Demostración:

(1-cosα) / 2 = (1 - cos(α/2 + α/2)) / 2
                       = (1 - cos2(α/2) + sen2(α/2)) / 2
                       = (sen2(α/2) + sen2(α/2)) / 2
                       = 2sen2(α/2) / 2
                       = sen2(α/2) .//

2. Ejemplos de Aplicación

En este apartado, revisaremos algunos ejemplos resueltos para que puedas ver cómo aplicar las fórmulas para sumas y múltiplos de ángulos. Luego, será tu turno.

Ejemplo 1: Calcular sen(π/12) , cos(π/12) y tan(π/12) .

Solución: sen(π/12) = sen(π/4 - π/6)
                                       = sen(π/4) cos(π/6) - cos(π/4) sen(π/6)
                                       = (√2/2) x (√3/2) - (√2/2) x (1/2)
                                       = (√2/4) (√3 - 1) .//

cos(π/12) = cos(π/4 - π/6)
                   = cos(π/4) cos(π/6) + sen(π/4) sen(π/6)
                   = (√2/2) x (√3/2) + (√2/2) x (1/2)
                   = (√2/4) (√3 + 1) .//

tan(π/12) = sen(π/12) / cos(π/12)
                   = ((√2/4) (√3 - 1)) / ((√2/4) (√3 + 1))
                   = ((√2/4) / (√2/4)) x ((√3 - 1) / (√3 + 1))
                   = (√3 - 1) / (√3 + 1)
                   = (√3 - 1)(√3 - 1) / (3-1)
                   = (3 - 2√3 + 1) / 2
                   = (4-2√3) / 2
                   = 2-√3 .//

Ejemplo 2: Calcular sen(5π/12) , cos(5π/12) y tan(5π/12) .

Solución: sen(5π/12) = sen(π/4 + π/6)
                                       = sen(π/4) cos(π/6) + cos(π/4) sen(π/6)
                                       = (√2/2) x (√3/2) + (√2/2) x (1/2)
                                       = (√2/4) (√3 + 1) .//

cos(5π/12) = cos(π/4 + π/6)
                   = cos(π/4) cos(π/6) - sen(π/4) sen(π/6)
                   = (√2/2) x (√3/2) - (√2/2) x (1/2)
                   = (√2/4) (√3 - 1) .//

tan(5π/12) = sen(5π/12) / cos(5π/12)
                   = ((√2/4) (√3 + 1)) / ((√2/4) (√3 - 1))
                   = ((√2/4) / (√2/4)) x ((√3 + 1) / (√3 - 1))
                   = (√3 + 1) / (√3 - 1)
                   = (√3 + 1)(√3 + 1) / (3-1)
                   = (3 + 2√3 + 1) / 2
                   = (4+2√3) / 2
                   = 2+√3 .//

Ejemplo 3: Demostrar que sen(π/2)=1 , cos(π/2)=0, sen(0)=0, cos(0)=1 .

Solución: sen(π/2) = sen(π/3 + π/6)
                                      = sen(π/3) cos(π/6) + cos(π/3) sen(π/6)
                                      = (√3/2) x (√3/2) + (1/2) x (1/2)
                                      = (3/4) + (1/4)
                                      = 4/4  =  1.//

cos(π/2) = cos(π/3 + π/6)
                  = cos(π/3) cos(π/6) - sen(π/3) sen(π/6)
                  = (1/2) x (√3/2) - (√3/2) x (1/2)
                  = 0 .//

sen(0) = sen(α - α)
             = senα cosα - cosα senα
             = 0 .//

cos(0) = cos(α - α)
             = cosα cosα + senα senα
= cos2α + sen2α  
= 1 .//

3. Ejercicios Propuestos

Ahora sí, es momento de que pongas en práctica lo que has aprendido. ¡Que tengas un buen trabajo!

  1. Sabiendo que sen(π/10) = (√5+1)/4, determine:

    a) cos(π/10)      b) sen(π/5)      c) cos(π/5)
    d) sen(3π/10)  e) cos(3π/10) f) sen(π/20)
    g) cos(π/20)    h) sen(3π/20) i) cos(3π/20)
  2. Sabiendo que 3π/10 - π/6 = 2π/15, determine:

    a) cos(2π/15)     b) sen(2π/15)       c) cos(π/15)
    d) sen(π/15)        e) cos(π/30)         f) sen(π/30) 
    g) cos(π/60)       h) sen(π/60)
  3. Demostrar que:
    a) sen(π)=0 , cos(π) = -1
    b) sen(3π/2)=-1 , cos(3π/2) = 0
    c) sen(2π)=0 , cos(2π) = 1
    d) sen(-π/2)=-1 , cos(-π) = 1