En esta sección serán definidas las Razones Trigonométricas para Sumas y Múltiplos de Ángulos, lo que nos permitirá extender a las Razones Trigonométricas a cualquier valor real de ángulo. Luego, se mostrarán Ejemplos de Aplicación a situaciones problemáticas.
Notar que todas estas expresiones serán importantes más tarde, por lo que las demostraciones aquí mostradas debieran ser estudiadas a conciencia.
1. cos(α-β) = cosα cosβ + senα senβ
Demostración: En la figura se tiene que m(∠DAC) = α y m(∠EAC) = β.
Con ello, se obtiene m(∠DAE) = α-β . Además:
- CE es perpendicular con AC.
- CB es perpendicular con AD.
- CF es perpendicular con DF.
De allí se obtiene m(BD)=m(CF) y además m(∠CEF) = α .
Con ello:
cos(α-β) = m(AD)/m(AE)
= m(AB + BD) / m(AE)
= m(AB)/m(AE) + m(BD)/m(AE)
= (m(AB)/m(AC)) x (m(AC)/m(AE)) + (m(CF)/m(CE)) x (m(CE)/m(AE))
= cosα cosβ + senα senβ .//
2. sen(α-β) = senα cosβ - cosα senβ
Demostración: A partir de la misma figura anterior, y considerando m(BC)=m(DF), se tiene:
cos(α-β) = m(DE)/m(AE)
= m(DF - EF) / m(AE)
= m(DF)/m(AE) - m(EF)/m(AE)
= (m(BC)/m(AC)) x (m(AC)/m(AE)) - (m(EF)/m(CE)) x (m(CE)/m(AE))
= senα cosβ - cosα senβ .//
3. sen(α+β) = senα cosβ + cosα senβ
Demostración:
sen(α+β) = cos(π/2 - (α+β))
= cos((π/2 - α) - β)
= cos(π/2 - α) cosβ + sen(π/2 - α) senβ
= senα cosβ + cosα senβ .//
4. cos(α+β) = cosα cosβ - senα senβ
Demostración:
cos(α+β) = sen(π/2 - (α+β))
= sen((π/2 - α) - β)
= sen(π/2 - α) cosβ - cos(π/2 - α) senβ
= cosα cosβ - senα senβ .//
5. tan(α-β) = (tanα - tanβ) / (1 + tanα tanβ)
Demostración: EJERCICIO.
6. tan(α+β) = (tanα + tanβ) / (1 - tanα tanβ)
Demostración: EJERCICIO.
7. cos(2β) = cos2β - sen2β
Demostración:
cos(2β) = cos(β+β)
= cosβ cosβ - senβ senβ
= cos2β - sen2β .//
8. sen(2β) = 2senβ cosβ
Demostración:
sen(2β) = sen(β+β)
= senβ cosβ + cosβ senβ
= 2senβ cosβ .//
9. tan(2β) = (2tanβ) / (1 - tan2β)
Demostración: EJERCICIO.
10. cos(3α) = 4cos3α - 3cosα
Demostración: EJERCICIO.
11. sen(3α) = 3senα - 4sen3α
Demostración: EJERCICIO.
12. cos2(α/2) = (1+cosα) / 2
Demostración:
(1+cosα) / 2 = (1 + cos(α/2 + α/2)) / 2
= (1 + cos2(α/2) - sen2(α/2)) / 2
= (cos2(α/2) + 1 - sen2(α/2)) / 2
= (cos2(α/2) + cos2(α/2)) / 2
= 2cos2(α/2) / 2
= cos2(α/2) .//
13. sen2(α/2) = (1-cosα) / 2
Demostración:
(1-cosα) / 2 = (1 - cos(α/2 + α/2)) / 2
= (1 - cos2(α/2) + sen2(α/2)) / 2
= (sen2(α/2) + sen2(α/2)) / 2
= 2sen2(α/2) / 2
= sen2(α/2) .//
Ejemplo 1: Calcular sen(π/12) , cos(π/12) y tan(π/12) .
Solución: sen(π/12) = sen(π/4 - π/6)
= sen(π/4) cos(π/6) - cos(π/4) sen(π/6)
= (√2/2) x (√3/2) - (√2/2) x (1/2)
= (√2/4) (√3 - 1) .//
cos(π/12) = cos(π/4 - π/6)
= cos(π/4) cos(π/6) + sen(π/4) sen(π/6)
= (√2/2) x (√3/2) + (√2/2) x (1/2)
= (√2/4) (√3 + 1) .//
tan(π/12) = sen(π/12) / cos(π/12)
= ((√2/4) (√3 - 1)) / ((√2/4) (√3 + 1))
= ((√2/4) / (√2/4)) x ((√3 - 1) / (√3 + 1))
= (√3 - 1) / (√3 + 1)
= (√3 - 1)(√3 - 1) / (3-1)
= (3 - 2√3 + 1) / 2
= (4-2√3) / 2
= 2-√3 .//
Ejemplo 2: Calcular sen(5π/12) , cos(5π/12) y tan(5π/12) .
Solución: sen(5π/12) = sen(π/4 + π/6)
= sen(π/4) cos(π/6) + cos(π/4) sen(π/6)
= (√2/2) x (√3/2) + (√2/2) x (1/2)
= (√2/4) (√3 + 1) .//
cos(5π/12) = cos(π/4 + π/6)
= cos(π/4) cos(π/6) - sen(π/4) sen(π/6)
= (√2/2) x (√3/2) - (√2/2) x (1/2)
= (√2/4) (√3 - 1) .//
tan(5π/12) = sen(5π/12) / cos(5π/12)
= ((√2/4) (√3 + 1)) / ((√2/4) (√3 - 1))
= ((√2/4) / (√2/4)) x ((√3 + 1) / (√3 - 1))
= (√3 + 1) / (√3 - 1)
= (√3 + 1)(√3 + 1) / (3-1)
= (3 + 2√3 + 1) / 2
= (4+2√3) / 2
= 2+√3 .//
Ejemplo 3: Demostrar que sen(π/2)=1 , cos(π/2)=0, sen(0)=0, cos(0)=1 .
Solución: sen(π/2) = sen(π/3 + π/6)
= sen(π/3) cos(π/6) + cos(π/3) sen(π/6)
= (√3/2) x (√3/2) + (1/2) x (1/2)
= (3/4) + (1/4)
= 4/4 = 1.//
cos(π/2) = cos(π/3 + π/6)
= cos(π/3) cos(π/6) - sen(π/3) sen(π/6)
= (1/2) x (√3/2) - (√3/2) x (1/2)
= 0 .//
sen(0) = sen(α - α)
= senα cosα - cosα senα
= 0 .//
cos(0) = cos(α - α)
= cosα cosα + senα senα
= cos2α + sen2α
= 1 .//